SFB 478 - Geometrische Strukturen in der Mathematik

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Beschreibung

In der Mathematik gibt es gewisse Strukturen, die anscheinend universell sind und in verschiedenen Problemkreisen immer wieder auftreten. Ihr Verständnis erlaubt es, unzählige ganz unterschiedliche Fragen mit einheitlichen Methoden erfolgreich zu bearbeiten. Der Sonderforschungsbereich konzentriert sich auf die geometrischen Strukturen, ihre Weiterentwicklung als Methodik und auf ihre Anwendungen. Dies betrifft Gebiete wie die Arithmetische Geometrie, Differentialgeometrie, Topologie, Analysis und Nichtkommutative Geometrie. Als Beispiele übergreifender Methoden "geometrischer Strukturen" seien besonders Kohomologie- und K-Theorien genannt. Sie spielen in allen Projektbereichen eine große Rolle. So entstammt die K-Theorie ursprünglich der Topologie. Später hat sie über die Indextheorie zunächst Einzug in die Analysis auf Mannigfaltigkeiten gehalten und sich dann auch im Bereich der Nichtkommutativen Geometrie als eines der Haupthilfsmittel etabliert. über den Regulator und seine Beziehung zu L-Funktionen sowie über die Theorie der Motive ist sie inzwischen auch in der Arithmetischen Geometrie - einer Fortentwicklung der Zahlentheorie - wichtig geworden.Eine Richtschnur in den Forschungsaktivitäten des Sonderforschungsbereichs sind verschiedene weltweit interessierende offene und sehr schwierige Probleme mit Langzeitpotential, wie etwa die Bloch-Kato-Vermutungen, die Baum-Connes-Vermutungen, Vermutungen von Atiyah, Hopf, Singer und viele weitere. Die Bearbeitung dieser Fragen wird sehr interessante neue Mathematik schaffen und viel zur Lösung anderer Probleme beitragen. Die Verflechtung verschiedener Gebiete durch geometrische Strukturen wird für lange Zeit eine zentrale Entwicklung in der Mathematik darstellen.